Part 6 光线追踪

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至此，我们基本学习完了光栅化成像的内容。不可否认，光栅化成像符合直觉、计算效率高，但是如软阴影、多次光线反射、高质量渲染等场景下，光栅化成像就显得力不从心了。

而光线追踪可以解决这些问题。

在光线追踪中，有几个原则：

1 光线追踪基本原理

一种常见的光线追踪算法称为光线投射。对于成像平面上的某一像素，从相机处投射一条视线穿过该像素，到达模型上的某一点。然后再从光源向该点处投射一条光线，若光线没有被遮挡，则该点可见，形成了一条有效的光路，此时即可着色。

但是该算法只考虑了一次反射。作为该算法的改进，Whitted-Style 光线追踪会递归计算人眼投射出的视线的反射和折射，并将每次反射和折射的结果叠加计算作为像素的值。

容易看出，在光线追踪的计算中，关键在于折射和反射，也就是求解光线和模型的交点。

我们定义光线是一条射线，因此其具有起点和方向：

\boldsymbol{r}(t) = \boldsymbol{o} + t \boldsymbol{d}

其中 $t \geq 0$ 。

曲面是若干点 $\boldsymbol{p}$ 的集合，满足：

f(\boldsymbol{p}) = 0

交点即同时满足光线方程和曲面方程，将光线代入球面方程得到：

f(\boldsymbol{o} + t \boldsymbol{d}) = 0

解得 $t$ 的值，代入光线方程 $\boldsymbol{r}(t) = \boldsymbol{o} + t \boldsymbol{d}$ 即可得到交点坐标。

以上是一个数学曲面（平面也算曲面）。然而我们的模型都是三角形组成的，该如何求解光线与三角形的交点？

我们知道三点一定共面，因此我们只需要求解光线与平面的交点，然后判断该交点是否在三角形内即可。

提示

采用向量叉乘来判断点是否在三角形内。

当然，还有一种直接给出交点重心坐标的 Möller Trumbore 算法：

我们把三角形 $\boldsymbol{p}_0 \boldsymbol{p}_1 \boldsymbol{p}_2$ 用重心坐标表示：

\boldsymbol{o} + t \boldsymbol{d} = (1-b_1-b_2)\boldsymbol{p}_0 + b_1 \boldsymbol{p}_1 + b_2 \boldsymbol{p}_2

有：

\begin{pmatrix} t \\ b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} = \frac{1}{\boldsymbol{S} \cdot \boldsymbol{E}_1} \begin{pmatrix} \boldsymbol{S}_2 \cdot \boldsymbol{E}_2 \\ \boldsymbol{S}_1 \cdot \boldsymbol{S} \\ \boldsymbol{S}_2 \cdot \boldsymbol{D} \end{pmatrix}

其中：

\begin{align*} \boldsymbol{E}_1 &= \boldsymbol{p}_1 - \boldsymbol{p}_0 \\ \boldsymbol{E}_2 &= \boldsymbol{p}_2 - \boldsymbol{p}_0 \\ \boldsymbol{S} &= \boldsymbol{o} - \boldsymbol{p}_0 \\ \boldsymbol{S}_1 &= \boldsymbol{d} \times \boldsymbol{E}_2 \\ \boldsymbol{S}_2 &= \boldsymbol{S} \times \boldsymbol{E}_1 \end{align*}

当 $t, b_1, b_2$ 同时满足下列条件时，结果具有物理意义：

t \geq 0 \\ 0 \leq b_1 \leq 1 \\ 0 \leq b_2 \leq 1 \\ 0 \leq b_1 + b_2 \leq 1

在三角形的光栅化中，我们不可能逐个判断所有像素是否在三角形内。而是计算三角形的包围盒，对包围盒内的像素进行判断。

同样，我们在计算光线和模型求交时，也不可能计算所有三角形，而是去计算包围盒内的三角形。

对于一个复杂形状的模型，我们用一个相对简单的包围盒包围。如果连包围盒都没有与光线的交点，那么模型一定也没有交点。

最常用的包围盒称为轴对齐包围盒（Axis-Aligned Bounding Box, AABB）。AABB 的每条边都与坐标轴平行，这可以显著减少计算量。

我们以一个二维 AABB 为例说明如何计算，三维同理。

二维 AABB 可以由 $x_0, y_0, x_1, y_1$ 来表示。

我们先计算光线与两条纵向边界 $x_0$ 和 $x_1$ 的交点，得到对应的一组 $t_{xmin}$ 和 $t_{xmax}$ 。

然后计算光线与两条横向边界 $y_0$ 和 $y_1$ 的交点，得到另一组 $t_{ymin}$ 和 $t_{ymax}$ 。

比较 $t_{xmin}$ 和 $t_{ymin}$ ，取其较大者作为 $t_{min}$ ；比较 $t_{xmax}$ 和 $t_{ymax}$ ，取其较小者作为 $t_{max}$ 。

当 $t_{min} \lt t_{max}$ 且 $t_{max} \gt 0$ 时，说明光线与 AABB 有交点。