本篇在二维空间推导大部分结论，三维空间同理。

1 线性变换

线性变换包括缩放、切变和旋转三种基本变换。因其新坐标是原坐标$(x,y)$的线性组合，都可被写成矩阵乘法的形式。

缩放变换，其中$s_x$和$s_y$为缩放因子：

$$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} s_x & 0 \\ 0 & s_y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$

切变变换，可以想象成一个矩形框架被拉伸成平行四边形：

$$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$

旋转变换，其中$\theta$为旋转角度（约定为逆时针）：

$$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$

2 平移变换

平移变换不是线性变换，因为它不能写成矩阵乘法的形式：

$$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} t_x \\ t_y \end{pmatrix}$$

3 变换组合与逆变换

3.1 变换组合

若对图形做多个连续线性变换，则应该按照变换的顺序依次左乘原坐标，顺序不能颠倒。因为矩阵乘法不满足交换律。

如，对原坐标进行先切变在旋转和先旋转再切变得到的结果的不同的。

$$\begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$

同样，线性变换和平移的组合也有顺序之分。

如，对原坐标进行先旋转再平移和先平移再旋转得到的结果是不同的。

$$\begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} t_x \\ t_y \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \left( \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} t_x \\ t_y \end{pmatrix} \right)$$

2.2 逆变换

要将一个经过线性变换后的坐标还原，只需要求解其逆矩阵。

$$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = M \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = M^{-1} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$$

3 齐次坐标与仿射变换

上面提到，平移并非线性变换，因其新坐标不是原坐标的线性组合。这给实际应用带来了不便。

为了把平移变换纳入线性变换中，引入齐次坐标。

令一个二维点$(x,y)^T$的坐标为：

$$(x,y,1)^T$$

而令一个平面向量$(x,y)^T$的坐标为：

$$(x,y,0)^T$$

这种形式的坐标称为齐次坐标。注意，齐次坐标$(x,y,w)^T$是表示的是一个平面点或平面向量的坐标，而非三维。

在齐次坐标下，平移变换可以被简单地表达为：

$$\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ w' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & t_y \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x + t_x \\ y + t_y \\ 1 \end{pmatrix}$$

在齐次坐标下，求由点$A=(x_a,y_a)^T$指向点$B=(x_b,y_b)^T$的向量$\boldsymbol{c}$依然可以被表示为：

$$\boldsymbol{c} = B-A= \begin{pmatrix} x_b \\ y_b \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} x_a \\ y_a \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_b - x_a \\ y_b - y_a \\ 0 \end{pmatrix}$$

类比可得：

• 两个向量之和为一个向量；
• 一个点和一个向量之和为一个点；

规定：如果一个齐次坐标为$(x,y,w)^T$，其中$w \neq 0$，则这个坐标与$(\frac{x}{w}, \frac{y}{w}, 1)^T$等价。

因此，两个点之和为这两个点的中点：

$$\begin{pmatrix} x_a \\ y_a \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x_b \\ y_b \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_a + x_b \\ y_a + y_b \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{x_a + x_b}{2} \\ \frac{y_a + y_b}{2} \\ 1 \end{pmatrix}$$

引入齐次坐标后，变换

$$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} t_x \\ t_y \end{pmatrix}$$

可以写成：

$$\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b & t_x \\ c & d & t_y \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ 1 \end{pmatrix}$$

称之为仿射变换。