1 贝塞尔曲线

贝塞尔曲线通常用来定义可被无限放大的光滑曲线，在计算机图形学中常被用来描述各种物体的运动路径。

下图是一条由四个控制点定义的三阶贝塞尔曲线。$\boldsymbol{p}_0$和$\boldsymbol{p}_3$决定了曲线的起终点，而曲线并不直接通过$\boldsymbol{p}_1$和$\boldsymbol{p}_2$，这两个点只是提供了曲线的走向信息。曲线在起终点的斜率与直线$\boldsymbol{p}_0 \boldsymbol{p}_1$和$\boldsymbol{p}_2 \boldsymbol{p}_3$的斜率相同。

1.1 确定贝塞尔曲线

最简单的贝塞尔曲线是由两个控制点确定的，在这种情况下，贝塞尔曲线就是连接两个控制点的直线。

三个控制点可以确定一条二阶贝塞尔曲线，我们以其为例说明贝塞尔曲线的确定过程。

三个控制点连接成两条线段，并规定一个比例系数$t$，其中$0 \leq t \leq 1$。在线段$\boldsymbol{b}_0 \boldsymbol{b}_1$上，依据比例系数$t$可以得到一个点$\boldsymbol{b}_0^1$。同理在线段$\boldsymbol{b}_1 \boldsymbol{b}_2$上有点$\boldsymbol{b}_1^1$。

连接$\boldsymbol{b}_0^1 \boldsymbol{b}_1^1$，按照同样的比例系数$t$得到$\boldsymbol{b}_0^2$。

此时我们发现只有一条直线和一个点了，因此停止操作，得到由这个三个控制点确定的、一条二阶贝塞尔曲线的、在比例系数$t$下的一个点。

计算$t$从 0 到 1 的所有值，就可以得到一条二阶贝塞尔曲线。

相关信息

$n$个控制点最多可确定$n-1$阶的贝塞尔曲线。

由四个控制点确定的三阶贝塞尔曲线也是一样的。

以下是几个动画帮助理解。

二阶贝塞尔曲线：

三阶贝塞尔曲线：

四阶贝塞尔曲线：

五阶贝塞尔曲线：

1.2 贝塞尔曲线的数学表达式

还是回到最简单的二阶贝塞尔曲线。

容易得到，第一次取点：

$$\begin{align*} \boldsymbol{b}_0^1 &= (1-t) \boldsymbol{b}_0 + t\boldsymbol{b}_1 \\ \boldsymbol{b}_1^1 &= (1-t) \boldsymbol{b}_1 + t\boldsymbol{b}_2 \end{align*}$$

第二次取点：

$$\begin{align*} \boldsymbol{b}_0^2 &= (1-t) \boldsymbol{b}_0^1 + t\boldsymbol{b}_1^1 \\ &= (1-t)^2\boldsymbol{b}_0 + 2t(1-t)\boldsymbol{b}_1 + t^2\boldsymbol{b}_2 \end{align*}$$

一般地，对于$n$阶贝塞尔曲线$\boldsymbol{b}(t), 0 \leq t \leq 1$，其一般形式为：

$$\boldsymbol{b}^n(t) = \boldsymbol{b}_0^n(t) = \sum_{j=0}^n \boldsymbol{b}_j B_j^n(t)$$

其中$B_j^n(t)$为贝塞尔多项式：

$$\begin{align*} B_j^n(t) &= \begin{pmatrix} n \\ i \end{pmatrix} t^i (1-t)^{n-i} \\ &= \frac{n!}{i!(n-i)!} t^i (1-t)^{n-i} \end{align*}$$

当$n=3$时，为四个控制点确定的三阶贝塞尔曲线：

$$\boldsymbol{b}^3(t) = \boldsymbol{b}_0 \cdot (1-t)^3 + \boldsymbol{b}_1 \cdot 3t(1-t)^2 + \boldsymbol{b}_2 \cdot 3t^2(1-t) + \boldsymbol{b}_3 \cdot t^3$$

由此，可以得出三阶贝塞尔曲线的两条重要性质：

$$\begin{align*} \boldsymbol{b}(0) &= \boldsymbol{b}_0 \\ \boldsymbol{b}(1) &= \boldsymbol{b}_3 \\ \end{align*}$$

$$\begin{align*} \boldsymbol{b}'(0) &= 3(\boldsymbol{b}_1 - \boldsymbol{b}_0) \\ \boldsymbol{b}'(1) &= 3(\boldsymbol{b}_3 - \boldsymbol{b}_2) \\ \end{align*}$$

1.3 分段贝塞尔曲线

我们知道，贝塞尔曲线的控制点只提供位置信息，而不精确控制其走向。因此面对高阶贝塞尔曲线，想调整其形状是非常困难的。各个控制点之间相互联系，容易“牵一发而动全身”。

所以我们对贝塞尔曲线进行分段处理。

行业中通常使用多段三阶贝塞尔曲线，因为可以使用前两个点控制其起点走向，后两个点控制其终点走向。

将三阶贝塞尔曲线首尾相连，就可达到高阶贝塞尔曲线的效果。

这种仅满足$\boldsymbol{a}_n = \boldsymbol{b}_0$的连续，称其为$C_0$连续。

而像这样满足$\boldsymbol{a}_n = \boldsymbol{b}_0 = \frac{1}{2} \boldsymbol{a}_{n-1} + \boldsymbol{b}_1$的连续，称为$C_1$连续。

2 贝塞尔曲面

贝塞尔曲面是贝塞尔曲线在三维空间中的推广。业界中通常使用$4 \times 4$个控制点去确定一个贝塞尔曲面。

要确定一个贝塞尔曲面，首先需要确定贝塞尔曲线。我们将$4 \times 4$个控制点按行横向分为四组，每组4个控制点，分别确定四条三阶贝塞尔曲线。

然后在列方向上纵向切片，四条贝塞尔曲线共得到四个点，然后用这四个点得到一条纵向的三阶贝塞尔曲线。

按照这种方式对所有切片求其纵向贝塞尔曲线，即可得到一个贝塞尔曲面。